人教版小学五年级下册数学·全册学习资料

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一、本册知识大纲

第一单元：观察物体（三）

• 根据从三个方向（正面、上面、左面）看到的图形，摆出相应的几何体
• 体会平面图形与立体图形之间的转化关系
• 通过观察、操作、想象，培养空间观念

第二单元：因数与倍数

• 因数和倍数的概念与关系
• 2、5、3的倍数的特征
• 质数和合数
• 分解质因数
• 公因数与最大公因数
• 公倍数与最小公倍数
• 两数互质的判断

第三单元：长方体和正方体

• 长方体和正方体的认识（面、棱、顶点）
• 长方体和正方体的表面积
• 长方体和正方体的体积
• 体积单位及单位换算（${\text{m}}^3$、${\text{dm}}^3$、${\text{cm}}^3$）
• 容积与容积单位（L、mL）
• 不规则物体的体积测量

第四单元：分数的意义和性质

• 分数的意义（单位"1"、分数单位）
• 分数与除法的关系
• 真分数和假分数
• 带分数的认识与化法
• 分数的基本性质
• 约分与最大公因数的应用
• 通分与最小公倍数的应用
• 分数与小数的互化

第五单元：图形的运动（三）

• 旋转的含义与三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）
• 在方格纸上画出简单图形旋转后的图形
• 平移与旋转的综合运用

第六单元：分数的加法和减法

• 同分母分数加、减法
• 异分母分数加、减法
• 分数加减混合运算
• 整数加法的运算定律推广到分数

第七单元：折线统计图

• 单式折线统计图的认识与绘制
• 复式折线统计图的认识与绘制
• 根据折线统计图进行数据分析和预测

第八单元：数学广角——找次品

• 用天平找次品问题的策略
• 最优分组方案
• 归纳找次品问题的一般规律

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二、各单元重要考点详解

第一单元：观察物体（三）

核心考点：

1. 三视图还原立体图形：根据从正面、上面和左面（或右面）看到的平面图形，判断或摆出对应的立体图形。
2. 确定小正方体个数范围：根据从两个方向看到的图形，确定摆成该几何体所需小正方体的最少和最多块数。
3. 空间想象能力：培养从不同角度观察物体的习惯，发展空间观念。

易错提醒：

• 从两个方向看到的图形相同的几何体，形状不一定相同。
• 摆几何体时，被遮挡的小正方体容易被遗漏。

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第二单元：因数与倍数【重点单元】

核心考点：

1. 因数和倍数的基本概念

   • 如果 $a÷b=c$（$a,b,c$ 都是非0自然数），那么 $b$ 和 $c$ 是 $a$ 的因数，$a$ 是 $b$ 和 $c$ 的倍数。
   • 一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。
   • 一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身。

2. 2、5、3的倍数的特征

   • 2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数（偶数）。
   • 5的倍数：个位上是0或5的数。
   • 3的倍数：各数位上数字之和是3的倍数。
   • 同时是2和5的倍数：个位上是0的数。
   • 同时是2、3、5的倍数：个位上是0，且各数位之和是3的倍数。

3. 质数和合数

   • 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数。最小的质数是2，也是唯一的偶质数。
   • 合数：除了1和它本身还有别的因数的数。最小的合数是4。
   • 1既不是质数也不是合数。
   • 100以内的质数共25个：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

4. 分解质因数

   • 把一个合数写成几个质数相乘的形式。
   • 方法：短除法。
   • 例：$36=2\times 2\times 3\times 3=2^2\times 3^2$

5. 最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM）

   • 最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个。
   • 最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个。
   • 求法：列举法、短除法、分解质因数法。
   • 互质：公因数只有1的两个数叫做互质数。

   重要规律：

   • 若两数成倍数关系，则最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
   • 若两数互质，则最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。
   • 对于任意两个数：$a\times b=\text{GCD}(a,b)\times \text{LCM}(a,b)$

易错提醒：

• "因数"不同于乘法算式中的"因数"，这里专指整除关系中的因数。
• 2是最小的质数，也是唯一的偶质数，所有其他偶数都是合数。
• 求最大公因数和最小公倍数时，两个数必须用相同的质因数。

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第三单元：长方体和正方体

核心考点：

1. 长方体的特征

   • 6个面：相对的面完全相同（一般是长方形，特殊情况有2个相对的面是正方形）。
   • 12条棱：相对的棱长度相等。可分为3组，每组4条（长、宽、高）。
   • 8个顶点。

2. 正方体的特征

   • 6个面：都是完全相同的正方形。
   • 12条棱：长度都相等。
   • 8个顶点。
   • 正方体是特殊的长方体。

3. 表面积计算公式

   • 长方体表面积：$S=2(ab+ah+bh)$，其中 $a$ 为长，$b$ 为宽，$h$ 为高。
   • 正方体表面积：$S=6a^2$，其中 $a$ 为棱长。
   • 实际问题中要注意：有些物体没有盖（如鱼缸、水池），需要少算一个面。

4. 体积计算公式

   • 长方体体积：$V=abh$（长 $\times$ 宽 $\times$ 高）
   • 正方体体积：$V=a^3$（棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长）
   • 统一公式：$V=Sh$（底面积 $\times$ 高）

5. 体积单位和容积单位

   • 体积单位：立方米（${\text{m}}^3$）、立方分米（${\text{dm}}^3$）、立方厘米（${\text{cm}}^3$）
   • 进率：$1{\text{m}}^3=1000{\text{dm}}^3$，$1{\text{dm}}^3=1000{\text{cm}}^3$
   • 容积单位：升（L）、毫升（mL）
   • 进率：$1\text{L}=1000\text{mL}$
   • 换算关系：$1{\text{dm}}^3=1\text{L}$，$1{\text{cm}}^3=1\text{mL}$

6. 不规则物体的体积

   • 排水法：$V_{\text{物体}}=V_{\text{排水}}=S_{\text{底}}\times \mathrm{\Delta }h$

易错提醒：

• 表面积和体积单位不同，不能直接比较大小。
• 切割或拼接立体图形时，表面积会改变，但体积不变。
• 求无盖鱼缸等的表面积时，要减去上面的面积。

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第四单元：分数的意义和性质【重点单元】

核心考点：

1. 分数的意义

   • 把单位"1"平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
   • 分数单位：把单位"1"平均分成若干份，表示其中一份的数。
   • ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ 的分数单位是 ${\displaystyle \frac{1}{b}}$，它有 $a$ 个这样的分数单位。

2. 分数与除法的关系

   • $a÷b={\displaystyle \frac{a}{b}}$（$b\ne 0$）
   • 被除数相当于分子，除数相当于分母。

3. 真分数、假分数与带分数

   • 真分数：分子小于分母的分数，值小于1。
   • 假分数：分子大于或等于分母的分数，值大于或等于1。
   • 带分数：由整数和真分数合成的数。
   • 假分数化带分数：${\displaystyle \frac{7}{3}}=2{\displaystyle \frac{1}{3}}$

4. 分数的基本性质

   • 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
   • ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{a\times c}{b\times c}}={\displaystyle \frac{a÷c}{b÷c}}$（$c\ne 0$）

5. 约分

   • 把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数。
   • 最简分数：分子和分母只有公因数1的分数。
   • 约分方法：逐步约分法或一次约分法（用最大公因数）。

6. 通分

   • 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。
   • 公分母一般用几个分母的最小公倍数。

7. 分数与小数的互化

   • 小数化分数：看小数位数，一位小数 $\to$ 分母10，两位小数 $\to$ 分母100，以此类推，再约分。
   • 分数化小数：分子 $÷$ 分母。除不尽的一般保留两位小数。

易错提醒：

• 分数单位的大小取决于分母，分母越小，分数单位越大。
• 约分一定要约到最简分数。
• 带分数化假分数：整数部分 $\times$ 分母 $+$ 分子，分母不变。
• 比较分数大小时，可以先通分再比较，也可以化成小数比较。

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第五单元：图形的运动（三）

核心考点：

1. 旋转的三要素：旋转中心（绕哪个点转）、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度。
2. 在方格纸上画旋转图形：确定旋转中心 $\to$ 找出关键线段或点 $\to$ 按要求旋转 $\to$ 连接各点。
3. 旋转的性质：旋转后图形的形状、大小不变，只是位置改变。
4. 平移与旋转的综合运用：利用平移和旋转设计图案或还原图形。

易错提醒：

• 画旋转图形时，容易把旋转方向搞混。
• 旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等。
• 不是绕原点旋转时，要特别注意旋转中心的位置。

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第六单元：分数的加法和减法

核心考点：

1. 同分母分数加减法

   • 法则：分母不变，分子相加减。
   • ${\displaystyle \frac{a}{c}}\pm {\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{a\pm b}{c}}$
   • 结果能约分的要约成最简分数。

2. 异分母分数加减法

   • 法则：先通分，化成同分母分数，再按同分母分数加减法计算。
   • ${\displaystyle \frac{a}{b}}\pm {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{ad}{bd}}\pm {\displaystyle \frac{bc}{bd}}={\displaystyle \frac{ad\pm bc}{bd}}$

3. 分数加减混合运算

   • 运算顺序与整数相同：有括号先算括号里的，没有括号从左到右算。
   • 整数加法的交换律和结合律同样适用于分数。
   • 去括号法则：括号前是减号，去括号后括号内的符号要变号。

易错提醒：

• 异分母分数不能直接相加减，必须先通分。
• 计算结果一定要约成最简分数。
• 分数加减混合运算中，添括号或去括号时要注意符号变化。

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第七单元：折线统计图

核心考点：

1. 单式折线统计图：用一条折线表示一组数据的变化趋势。
2. 复式折线统计图：用两条或以上的折线表示两组或多组数据的变化，便于比较。
3. 优点：既能看出数量的多少，又能清楚地反映数量的增减变化情况。
4. 绘制方法：确定标题和日期 $\to$ 画横轴和纵轴 $\to$ 确定单位长度 $\to$ 描点 $\to$ 连线 $\to$ 标注数据。
5. 数据分析：根据折线的上升、下降、平缓程度进行分析和预测。

易错提醒：

• 描点时要看清对应的横轴和纵轴数据。
• 复式折线统计图要用不同的线型或颜色区分，并注明图例。
• 纵轴单位长度要根据数据范围合理选取。

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第八单元：数学广角——找次品

核心考点：

1. 找次品的最优策略：把物品尽量平均分成3份。
2. 用天平找次品：通过比较判断次品在哪一组，逐步缩小范围。
3. 规律总结：
   • 从$3^n$个物品中找一个次品（已知次品轻重），至少需要称 $n$ 次。
   • 2~3个物品：称1次；4~9个物品：称2次；10~27个物品：称3次；28~81个物品：称4次。
4. 不知次品轻重时：需要多称一次来判断次品的轻重。

易错提醒：

• 找次品时要考虑最不利情况，确保在最坏的情况下也能找到。
• 要尽量把物品平均分成3份，如果不能平均分，也要使多的那一份与少的那一份相差不超过1。

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三、常见题型与例题

第一单元：观察物体（三）

例题1（基础）

用4个同样大小的小正方体摆一个几何体，从正面看到的图形是 $◻◻$（横排2个正方形），从左面看到的图形也是 $◻◻$（横排2个正方形）。你能摆出几种不同的几何体？请画出从上面看到的图形。

解析： 从正面看到2个正方形，说明底层至少有2个小正方体横放。从左面也看到2个，说明前后至少有2排。用4个小正方体，可以在底层摆3个（呈L形），上面叠1个；或底层摆2个，上面再叠2个。具体情况需根据三视图综合分析。本题答案不唯一，主要考察空间想象能力。

答案： 至少有两种摆法。（1）底层前排2个，后排左侧1个，第二层前排左侧1个；（2）底层横排2个，上面横排2个。从上面看分别对应不同的图形。

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例题2（提高）

一个几何体从上面看到的图形是

□ □
  □

（前排2个，后排右侧1个），从左面看到的图形是上下2个正方形叠放。搭这个几何体最少需要几个小正方体？最多需要几个？

解析：

• 从上面看有3个位置，底层至少有3个小正方体。
• 从左面看有上下2层，说明至少有一个位置是2层。
• 最少：在一个位置上叠1个，共4个小正方体。
• 最多：在3个位置上都叠1个，共6个小正方体。

答案： 最少需要4个，最多需要6个。

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例题3（拓展）

添1个小正方体，使得从正面和左面看到的图形不变（原来几何体由5个小正方体搭成，从正面和左面看到的都是

□ □
□

）。可以添在哪里？有几种添法？

解析： 需要分析原几何体的结构，找出不影响正面和左面视图的位置。通常可以在"死角"位置添加，即从正面和左面都看不到的位置。

答案： 需根据原几何体的具体结构判断，一般最多有1~2种添法，添在被遮挡的位置。

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第二单元：因数与倍数【重点】

例题1（基础）

36的因数有哪些？其中哪些是质数？36的最小倍数是多少？36既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数的最大两位数是什么？

解析：

• 用配对法找因数：$36=1\times 36=2\times 18=3\times 12=4\times 9=6\times 6$
• 36的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
• 其中质数有：2, 3
• 36的最小倍数是36本身
• 同时是2、3、5的倍数，个位必须是0，且各数位之和是3的倍数。最大两位数是90。

答案： 36的因数有1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36；其中质数是2, 3；最小倍数是36；满足条件的最大两位数是90。

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例题2（基础）

从0, 1, 4, 5, 6五张数字卡片中任选三张组成三位数： (1) 组成同时是2和5的倍数的三位数有哪些？ (2) 组成同时是2、3、5的倍数的最小三位数是多少？ (3) 组成是3的倍数但不是2的倍数的三位数有哪些？

解析： (1) 同时是2和5的倍数 $\Rightarrow$ 个位必须是0。从1,4,5,6中选两个排在百位和十位。 可以是：140, 150, 160, 410, 450, 460, 510, 540, 560, 610, 640, 650, etc.（共 $4\times 3=12$ 个，注意百位不能为0）

(2) 同时是2、3、5的倍数 $\Rightarrow$ 个位是0，且三个数位之和是3的倍数。 选法：1+5+0=6（是3的倍数），组成150, 510；4+5+0=9（是3的倍数），组成450, 540；1+4+0=5（不是），等等。 最小的是150。

(3) 是3的倍数但不是2的倍数 $\Rightarrow$ 个位是奇数（1或5），且三个数位之和是3的倍数。 个位是1：数字和需是3的倍数。0+5+1=6，有501, 105 个位是5：0+1+5=6，有105, 501（重复）；0+4+5=9，有405, 504（504是偶数排除）；1+4+5=10（不是）；等等。 注意去重和偶数排除。

答案： (1) 个位为0的三位数（百位和十位从1,4,5,6中选），共12个；(2) 最小是150；(3) 105, 405, 501等。

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例题3（提高）

把72分解质因数。如果 $A=2\times 3\times 5$，$B=2\times 3\times 7$，那么A和B的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？

解析：

• $72=2\times 2\times 2\times 3\times 3=2^3\times 3^2$
• 最大公因数取公共质因数的最低次幂：$\text{GCD}(A,B)=2\times 3=6$
• 最小公倍数取所有质因数的最高次幂：$\text{LCM}(A,B)=2\times 3\times 5\times 7=210$
• 验算：$A\times B=30\times 42=1260$，$\text{GCD}\times \text{LCM}=6\times 210=1260$，符合公式。

答案： $72=2^3\times 3^2$；最大公因数是6；最小公倍数是210。

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例题4（提高）

有两根木料，一根长36分米，一根长48分米。现在要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少分米？一共可以截成多少段？

解析：

• "截成同样长的小段，每段最长" $\Rightarrow$ 求36和48的最大公因数。
• 用短除法：$\text{GCD}(36,48)=12$
• $36÷12=3$（段），$48÷12=4$（段），一共 $3+4=7$（段）

答案： 每段最长12分米，一共可以截成7段。

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例题5（提高）

五年级学生参加植树活动，如果分成3人一组、4人一组或6人一组，都恰好分完。五年级参加植树的学生最少有多少人？

解析：

• "恰好分完"说明人数是3、4、6的公倍数。
• "最少有多少人" $\Rightarrow$ 求3、4、6的最小公倍数。
• $\text{LCM}(3,4,6)=12$

答案： 最少有12人。

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例题6（拓展）

已知甲、乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是180，且甲数是36，求乙数。

解析：

• 利用重要公式：甲 $\times$ 乙 $=\text{GCD}(\text{甲},\text{乙})\times \text{LCM}(\text{甲},\text{乙})$
• $36\times \text{乙}=6\times 180=1080$
• 乙 $=1080÷36=30$
• 验算：$\text{GCD}(36,30)=6$，$\text{LCM}(36,30)=180$，正确。

答案： 乙数是30。

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例题7（拓展）

已知 $a$ 和 $b$ 都是自然数，且 $a÷b=5$。那么 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？如果 $a+b=54$，那么 $a$ 和 $b$ 各是多少？

解析：

• $a÷b=5$ 说明 $a=5b$，即 $a$ 和 $b$ 成倍数关系。
• 成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数 $b$，最小公倍数是较大数 $a$。
• 若 $a+b=54$，则 $5b+b=54$，$6b=54$，$b=9$，$a=45$。
• 验算：$\text{GCD}(45,9)=9=b$，$\text{LCM}(45,9)=45=a$，正确。

答案： 最大公因数是 $b$，最小公倍数是 $a$；$a=45$，$b=9$。

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第三单元：长方体和正方体

例题1（基础）

一个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，高是4厘米。 (1) 这个长方体的棱长总和是多少厘米？ (2) 表面积是多少平方厘米？ (3) 体积是多少立方厘米？

解析： (1) 棱长总和 $=4\times (8+5+4)=4\times 17=68$（厘米） (2) 表面积 $=2\times (8\times 5+8\times 4+5\times 4)=2\times (40+32+20)=2\times 92=184$（平方厘米） (3) 体积 $=8\times 5\times 4=160$（立方厘米）

答案： (1) 68厘米；(2) 184平方厘米；(3) 160立方厘米。

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例题2（基础）

一个正方体的棱长总和是72厘米，求它的表面积和体积。

解析：

• 正方体有12条棱，每条棱长 $=72÷12=6$（厘米）
• 表面积 $=6\times 6^2=6\times 36=216$（平方厘米）
• 体积 $=6^3=216$（立方厘米）

答案： 表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米。

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例题3（提高）

一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？这个鱼缸最多能装多少升水？

解析：

• "无盖"说明只有5个面：底面 + 前后面 + 左右面
• 表面积 $=8\times 5+2\times (8\times 6)+2\times (5\times 6)$
• $=40+96+60=196$（平方分米）
• 容积 $=8\times 5\times 6=240$（立方分米）$=240$（升）

答案： 至少需要196平方分米的玻璃，最多能装240升水。

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例题4（提高）

把一个棱长为6厘米的正方体钢坯锻造成一个长9厘米、宽8厘米的长方体钢板（不计损耗），这块钢板有多厚？

解析：

• 锻造前后体积不变。
• 正方体体积 $=6^3=216$（立方厘米）
• 设钢板厚度为 $h$ 厘米，则 $9\times 8\times h=216$
• $72h=216$，$h=3$（厘米）

答案： 这块钢板厚3厘米。

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例题5（提高）

一个长方体木块，如果沿着高截去3厘米，就成了一个正方体，这时表面积比原来减少了72平方厘米。原来长方体木块的体积是多少立方厘米？

解析：

• 截去3厘米后成正方体，说明原长方体的长和宽相等，高比长多3厘米。
• 表面积减少的部分是截去部分的侧面积（不含上底）。
• 减少的面积 $=\text{底面周长}\times 3=72$
• 底面周长 $=72÷3=24$（厘米）
• 因为底面是正方形，所以边长 $=24÷4=6$（厘米）
• 原长方体的长=宽=6厘米，高 $=6+3=9$（厘米）
• 原体积 $=6\times 6\times 9=324$（立方厘米）

答案： 原来长方体木块的体积是324立方厘米。

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例题6（拓展）

一个长方体容器，底面是一个边长为5分米的正方形，里面水深3分米。把一块石头完全浸没在水中后，水面上升了0.8分米。这块石头的体积是多少立方分米？

解析：

• 石头的体积 = 上升的水的体积（排水法）
• $V=5\times 5\times 0.8=25\times 0.8=20$（立方分米）

答案： 这块石头的体积是20立方分米。

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例题7（拓展）

一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加了56平方厘米。原来长方体的表面积是多少？

解析：

• "高增加2厘米变成正方体"说明原长方体的长和宽相等，且比高大2厘米。
• 表面积增加的是四周侧面的面积（上底面面积不变，下底面也不变）。
• 增加的面是4个完全相同的长方形，每个的宽是2厘米，长就是原长方体的长。
• 每个增加的面积 $=56÷4=14$（平方厘米）
• 原长方体的长（宽）$=14÷2=7$（厘米）
• 原长方体的高 $=7-2=5$（厘米）
• 原表面积 $=2\times (7\times 7+7\times 5+7\times 5)=2\times (49+35+35)=2\times 119=238$（平方厘米）

答案： 原来长方体的表面积是238平方厘米。

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第四单元：分数的意义和性质【重点】

例题1（基础）

(1) ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ 表示把单位"1"平均分成（　）份，取其中的（　）份，它的分数单位是（　），有（　）个这样的分数单位。 (2) 把5米长的绳子平均分成8段，每段是全长的（　），每段长（　）米。

解析： (1) 分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。 (2) 每段是全长的几分之几：$1÷8={\displaystyle \frac{1}{8}}$（与具体长度无关） 每段长多少米：$5÷8={\displaystyle \frac{5}{8}}$（米）

答案： (1) 8, 5, ${\displaystyle \frac{1}{8}}$, 5；(2) ${\displaystyle \frac{1}{8}}$, ${\displaystyle \frac{5}{8}}$米。

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例题2（基础）

把下面的假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。 (1) ${\displaystyle \frac{17}{5}}$　　(2) ${\displaystyle \frac{42}{7}}$　　(3) $3{\displaystyle \frac{4}{9}}$

解析： (1) ${\displaystyle \frac{17}{5}}=17÷5=3\cdots 2=3{\displaystyle \frac{2}{5}}$ (2) ${\displaystyle \frac{42}{7}}=42÷7=6$ (3) $3{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{3\times 9+4}{9}}={\displaystyle \frac{31}{9}}$

答案： (1) $3{\displaystyle \frac{2}{5}}$；(2) 6；(3) ${\displaystyle \frac{31}{9}}$。

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例题3（提高）

把 ${\displaystyle \frac{15}{20}}$ 约分，并说出约分的依据。比较 ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ 和 ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ 的大小。

解析：

• 约分：${\displaystyle \frac{15}{20}}={\displaystyle \frac{15÷5}{20÷5}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$
• 依据：分数的基本性质（分子和分母同时除以相同的数，分数大小不变）
• 比较 ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ 和 ${\displaystyle \frac{7}{12}}$：
  • 通分：分母8和12的最小公倍数是24
  • ${\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{15}{24}}$，${\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{14}{24}}$
  • ${\displaystyle \frac{15}{24}}>{\displaystyle \frac{14}{24}}$，所以 ${\displaystyle \frac{5}{8}}>{\displaystyle \frac{7}{12}}$

答案： ${\displaystyle \frac{15}{20}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$；${\displaystyle \frac{5}{8}}>{\displaystyle \frac{7}{12}}$。

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例题4（提高）

一个分数，分子和分母的和是42，约分后等于 ${\displaystyle \frac{2}{5}}$。原来的分数是多少？

解析：

• 设约分前的分数为 ${\displaystyle \frac{2k}{5k}}$（$k$ 为约去的数）
• 由题意：$2k+5k=42$
• $7k=42$，$k=6$
• 原分数 $={\displaystyle \frac{2\times 6}{5\times 6}}={\displaystyle \frac{12}{30}}$
• 验算：$12+30=42$，${\displaystyle \frac{12}{30}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$，正确。

答案： 原来的分数是 ${\displaystyle \frac{12}{30}}$。

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例题5（提高）

把 $0.75$、${\displaystyle \frac{7}{8}}$、${\displaystyle \frac{5}{6}}$、${\displaystyle \frac{19}{24}}$ 按从大到小的顺序排列。

解析：

• 统一化成小数比较：
  • $0.75=0.75$
  • ${\displaystyle \frac{7}{8}}=0.875$
  • ${\displaystyle \frac{5}{6}}\approx 0.833$
  • ${\displaystyle \frac{19}{24}}\approx 0.792$
• 从大到小：$0.875>0.833>0.792>0.75$

答案： ${\displaystyle \frac{7}{8}}>{\displaystyle \frac{5}{6}}>{\displaystyle \frac{19}{24}}>0.75$

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例题6（提高）

一个最简分数，如果分子加上1，约分后等于 ${\displaystyle \frac{2}{3}}$；如果分子减去1，约分后等于 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$。求这个最简分数。

解析：

• 设这个分数为 ${\displaystyle \frac{a}{b}}$
• ${\displaystyle \frac{a+1}{b}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$，即 $3(a+1)=2b$，$3a+3=2b$ ......①
• ${\displaystyle \frac{a-1}{b}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$，即 $2(a-1)=b$，$b=2a-2$ ......②
• 将②代入①：$3a+3=2(2a-2)=4a-4$
• $3+4=4a-3a$，$a=7$
• $b=2\times 7-2=12$
• 这个分数是 ${\displaystyle \frac{7}{12}}$，是最简分数。
• 验算：${\displaystyle \frac{7+1}{12}}={\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ✓；${\displaystyle \frac{7-1}{12}}={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ✓

答案： 这个最简分数是 ${\displaystyle \frac{7}{12}}$。

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例题7（拓展）

分数 ${\displaystyle \frac{3}{13}}$ 的分子和分母同时加上多少后，可以约分为 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$？

解析：

• 设同时加上的数为 $x$
• ${\displaystyle \frac{3+x}{13+x}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$
• $3(3+x)=13+x$
• $9+3x=13+x$
• $3x-x=13-9$
• $2x=4$，$x=2$
• 验算：${\displaystyle \frac{3+2}{13+2}}={\displaystyle \frac{5}{15}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ✓

答案： 同时加上2。

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第五单元：图形的运动（三）

例题1（基础）

(1) 钟面上，时针从"3"顺时针旋转90°后指向几？ (2) 分针从"12"逆时针旋转60°后指向几？

解析：

• 钟面一圈360°，共12个大格，每个大格 $360°÷12=30°$。 (1) 顺时针旋转90° $\Rightarrow$ 旋转了 $90°÷30°=3$ 个大格，从3到6。 (2) 逆时针旋转60° $\Rightarrow$ 旋转了 $60°÷30°=2$ 个大格，从12逆时针到10。

答案： (1) 指向"6"；(2) 指向"10"。

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例题2（提高）

画出三角形ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形。已知A(2,3)，B(2,5)，C(4,3)。

解析：

• 旋转中心是点A，点A位置不变。
• 点B在A的正上方2个单位，绕A顺时针旋转90°后，在A的正右方2个单位，B'坐标为(4,3)。
• 点C在A的正右方2个单位，绕A顺时针旋转90°后，在A的正下方2个单位，C'坐标为(2,1)。
• 连接AB'、AC'、B'C'即可。

答案： 旋转后B'(4,3)，C'(2,1)，A(2,3)不变。

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例题3（提高）

一个图形先向右平移4格，再绕某个点顺时针旋转90°，得到最终的图形。能把"平移+旋转"的过程转化为一次旋转吗？如果能，怎样确定旋转中心？

解析：

• 连续两次运动（平移+旋转）一般可以转化为一次旋转。
• 旋转中心的确定方法：找到一对对应点（原图形上的点和最终图形上的对应点），旋转中心在这两点连线的垂直平分线上；找两对这样的对应点，两条垂直平分线的交点就是旋转中心。
• 本题为理论分析题，实际操作中可以通过作图确定。

答案： 能。通过找两组对应点连线的垂直平分线的交点来确定旋转中心。

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例题4（拓展）

如图（方格纸上的图形），请你通过旋转或平移，把左图变形成右图，至少写出两种不同的变换方法。

解析：

• 方法一：先旋转再平移。如将左图的一部分绕某点旋转一定角度，再平移到正确位置。
• 方法二：先平移再旋转。如先将左图的一部分平移到合适位置，再旋转。
• 本题为开放题，考察对平移和旋转的理解，只要合理即可。

答案： 方法不唯一，合理即可。

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第六单元：分数的加法和减法

例题1（基础）

计算： (1) ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}$　　(2) ${\displaystyle \frac{7}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}$　　(3) $1-{\displaystyle \frac{3}{8}}$

解析： (1) ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{5+1}{12}}={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (2) ${\displaystyle \frac{7}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{7-4}{9}}={\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (3) $1-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{8}{8}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$

答案： (1) ${\displaystyle \frac{1}{2}}$；(2) ${\displaystyle \frac{1}{3}}$；(3) ${\displaystyle \frac{5}{8}}$。

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例题2（基础）

计算： (1) ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$　　(2) ${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}$

解析： (1) ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{9}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{11}{12}}$ (2) ${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{20}{24}}-{\displaystyle \frac{9}{24}}={\displaystyle \frac{11}{24}}$

答案： (1) ${\displaystyle \frac{11}{12}}$；(2) ${\displaystyle \frac{11}{24}}$。

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例题3（提高）

计算：${\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{3}{10}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{10}}$

解析：

• 利用加法交换律和结合律：

$$({\displaystyle \frac{7}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{9}})+({\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{7}{10}})={\displaystyle \frac{5}{9}}+1=1{\displaystyle \frac{5}{9}}$$

答案： $1{\displaystyle \frac{5}{9}}$

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例题4（提高）

计算：${\displaystyle \frac{5}{6}}-({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})$

解析：

$${\displaystyle \frac{5}{6}}-({\displaystyle \frac{4}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}})={\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{10}{12}}-{\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

答案： ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

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例题5（提高）

一杯果汁，小明喝了 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ 后用水加满，又喝了 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ 后再用水加满，最后全部喝完。小明喝的果汁多还是水多？多多少？

解析：

• 果汁：始终只有1杯，且全部喝完，所以喝了1杯果汁。
• 水：第一次加了 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ 杯，第二次加了 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ 杯。
  • 一共加水：${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{12}}+{\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$（杯）
• 比较：$1>{\displaystyle \frac{7}{12}}$
• 差：$1-{\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$（杯）

答案： 小明喝的果汁多，多 ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ 杯。

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例题6（拓展）

计算：${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{20}}+{\displaystyle \frac{1}{30}}$

解析：

• 观察发现：${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{1\times 2}}$，${\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2\times 3}}$，${\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3\times 4}}$，${\displaystyle \frac{1}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4\times 5}}$，${\displaystyle \frac{1}{30}}={\displaystyle \frac{1}{5\times 6}}$
• 利用裂项法：${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}={\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$
• 原式 $=(1-{\displaystyle \frac{1}{2}})+({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})+({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}})+({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{5}})+({\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{6}})$
• $=1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$

答案： ${\displaystyle \frac{5}{6}}$

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第七单元：折线统计图

例题1（基础）

根据下面的统计表，绘制折线统计图。

月份	1月	2月	3月	4月	5月	6月
销售额（万元）	20	25	30	28	35	40

解析：

• 确定标题："上半年销售额统计图"
• 横轴表示月份（1~6月），纵轴表示销售额（万元）
• 纵轴每格代表5万元比较合适（范围0~40）
• 描点：(1,20)、(2,25)、(3,30)、(4,28)、(5,35)、(6,40)
• 用线段依次连接各点
• 在每个点旁标注数据

答案： 略（按上述步骤绘图）。

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例题2（提高）

下图是甲、乙两地某年月平均气温统计图（复式折线统计图）。 (1) 两地气温最高的分别是几月？ (2) 温差最大的是几月？温差是多少？ (3) 如果你要去旅游，你会选择哪个月份去甲地？为什么？

解析：

• (1) 找出两条折线的最高点对应的月份
• (2) 逐月比较两地的气温差，找出最大值
• (3) 根据气温舒适度和个人喜好回答，一般选择气温适宜、温差较小的月份

答案： 需根据具体图形作答。（一般7月气温最高，1月或12月温差最大）

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例题3（提高）

某市近5年来私家车保有量分别为：50万辆、65万辆、85万辆、110万辆、140万辆。 (1) 根据数据绘制折线统计图。 (2) 估计第6年的私家车保有量大约是多少？为什么？

解析：

• (1) 按绘制方法描点连线。
• (2) 分析增长趋势：每年增加量分别为15万、20万、25万、30万，呈递增趋势。
  • 估计第6年增加约35万辆，总量约175万辆。
  • 或者考虑增长趋势放缓，给出合理估计即可。

答案： (1) 略；(2) 约175万辆（合理即可）。

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第八单元：数学广角——找次品

例题1（基础）

有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（较轻）。用一架天平至少称几次能保证找出次品？怎样称？

解析：

• 把3瓶分成3份（1,1,1）。
• 天平两边各放1瓶：
  • 若平衡，则剩下的是次品；
  • 若不平衡，则轻的那边是次品。
• 至少称1次。

答案： 至少称1次。天平两边各放1瓶，平衡则剩下的是次品，不平衡则轻的是次品。

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例题2（提高）

有9个零件，其中一个是次品（次品较重），用一架天平至少称几次能保证找出次品？写出称的过程。

解析：

• 最优方案：把9个零件平均分成3份（3,3,3）。
• 第一次：天平两边各放3个。
  • 若平衡，次品在剩下的3个中；
  • 若不平衡，次品在较重的那3个中。
• 第二次：从确定有次品的3个中，天平两边各放1个。
  • 若平衡，剩下的是次品；
  • 若不平衡，较重的是次品。
• 至少称2次。

答案： 至少称2次。

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例题3（提高）

有15瓶口香糖，其中1瓶被小明吃了2粒（较轻）。用天平至少称几次能保证找出这瓶口香糖？

解析：

• 把15瓶分成(5,5,5)三组。
• 第一次：称两组5瓶。
  • 平衡：次品在剩下5瓶中；不平衡：次品在较轻的5瓶中。
• 第二次：把有次品的5瓶分成(2,2,1)。
  • 称两组2瓶。平衡：剩下的是次品；不平衡：次品在较轻的2瓶中。
• 第三次：称较轻的2瓶，轻的是次品。
• 至少称3次。

答案： 至少称3次。

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例题4（拓展）

有10个零件，其中一个次品不知轻重（只知道与其他不同），用天平至少称几次能保证找出次品？

解析：

• 不知轻重比已知轻重更复杂，需要额外的次数来判断次品的轻重。
• 把10个分成(3,3,4)三组。
• 最优策略需要分析多种情况，在称量过程中通过比较来判断次品轻重。
• 经分析，至少称3次能保证找出次品（需要详细分析各种情况）。

答案： 至少称3次。

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四、期末综合复习题

一、选择题（每题2分，共20分）

1. 一个数既是12的因数，又是12的倍数，这个数是（　）

A. 1　　　B. 6　　　C. 12　　　D. 24

2. 下列各数中，同时是2、3、5的倍数的是（　）

A. 105　　　B. 120　　　C. 230　　　D. 405

3. 把一根长3米的长方体木料截成3段，表面积增加了48平方分米。原来这根木料的体积是（　）立方分米。

A. 240　　　B. 360　　　C. 480　　　D. 120

4. ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ 的分子加上10，要使分数大小不变，分母应该（　）

A. 加上10　　　B. 乘2　　　C. 加上16　　　D. 乘3

5. 一个分数的分母缩小到原来的 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$，分子不变，这个分数的值（　）

A. 缩小到原来的 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$　　　B. 扩大到原来的3倍

C. 不变　　　D. 扩大到原来的9倍

6. 下列说法正确的是（　）

A. 所有的偶数都是合数

B. 最小的质数是1

C. 一个数的因数一定比它的倍数小

D. 两个不同质数的公因数只有1

7. 一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的（　）倍。

A. 2　　　B. 4　　　C. 6　　　D. 8

8. $a$ 和 $b$ 是相邻的两个非零自然数，它们的最大公因数是（　），最小公倍数是（　）

A. 1，$ab$　　　B. $a$，$b$　　　C. 1，$a+b$　　　D. $a$，$ab$

9. 一瓶饮料喝了 ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ 后还剩 ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ 升，原来这瓶饮料有（　）升。

A. ${\displaystyle \frac{6}{25}}$　　　B. 1　　　C. ${\displaystyle \frac{5}{3}}$　　　D. ${\displaystyle \frac{3}{2}}$

10. 有27个外观相同的乒乓球，其中1个是次品（较轻），用一架天平至少称（　）次能保证找出次品。

A. 2　　　B. 3　　　C. 4　　　D. 5

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二、填空题（每空2分，共20分）

1. 把24分解质因数是 ____________。

2. ${\displaystyle \frac{()}{16}}=0.75=9÷()={\displaystyle \frac{15}{()}}$

3. 一个长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm、4cm，它的棱长总和是 ______ cm，表面积是 ______ cm²。

4. ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ 的分数单位是 ______，它有 ______ 个这样的分数单位，再添上 ______ 个这样的分数单位就等于最小的质数。

5. 如果 $A=2\times 3\times 5$，$B=2\times 5\times 7$，那么A和B的最大公因数是 ______，最小公倍数是 ______。

6. 一个正方体的表面积是54平方厘米，它的体积是 ______ 立方厘米。

7. 分数 ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ 和 ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ 的最小公分母是 ______。

8. 在 ${\displaystyle \frac{a}{7}}$ 中，当 $a$ = ______ 时，它是最大的真分数；当 $a$ = ______ 时，它是最小的假分数。

9. 把3千克糖果平均分给8个小朋友，每个小朋友分得 ______ 千克，分得这些糖果的 ______。

10. 一个长方体的高减少3厘米后变成一个正方体，表面积减少了60平方厘米。原来长方体的体积是 ______ 立方厘米。

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三、计算题（共32分）

1. 直接写出得数。（8分）

${\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}=$ __________　　${\displaystyle \frac{7}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}=$ __________

$1-{\displaystyle \frac{5}{12}}=$ __________　　${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}=$ __________

${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=$ __________　　${\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}=$ __________

${\displaystyle \frac{7}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=$ __________　　$2-1{\displaystyle \frac{3}{7}}=$ __________

2. 计算下面各题，能简算的要简算。（16分）

(1) ${\displaystyle \frac{5}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}$

(2) ${\displaystyle \frac{7}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}$

(3) ${\displaystyle \frac{11}{12}}-({\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})$

(4) ${\displaystyle \frac{5}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{7}{10}}$

(5) $5-{\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{5}{8}}$

(6) ${\displaystyle \frac{8}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

(7) ${\displaystyle \frac{7}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}$

(8) ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{20}}$

3. 解方程。（8分）

(1) $x+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$

(2) $x-{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

(3) ${\displaystyle \frac{4}{5}}-x={\displaystyle \frac{1}{3}}$

(4) $x+{\displaystyle \frac{2}{7}}=2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

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四、解决问题（共28分）

1. 五（1）班有48人，五（2）班有42人。两个班要分组参加劳动，每组人数相同且最多。每组最多几人？一共可以分成几组？（5分）

2. 一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米，宽40厘米，高30厘米，水深20厘米。如果把一个棱长为10厘米的正方体铁块完全浸入水中，水面会上升多少厘米？（5分）

3. 小红看一本120页的故事书，第一天看了全书的 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$，第二天看了全书的 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$，还剩全书的几分之几没有看？（5分）

4. 有一块长方形铁皮，长60厘米，宽48厘米。要把它剪成若干个同样大小的正方形，且没有剩余。剪成的正方形边长最大是多少厘米？一共可以剪成多少个这样的正方形？（5分）

5. 一个长方体的底面是边长为4分米的正方形，它的侧面积总和是80平方分米。这个长方体的体积是多少立方分米？（4分）

6. 一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的 ${\displaystyle \frac{2}{5}}$，第二小时行了全程的 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$，还剩全程的几分之几？如果这时距中点还有15千米，甲乙两地相距多少千米？（4分）

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五、拓展题（共20分）

1. 一个分数，分子和分母的和是68，分子减去5后，新分数等于 ${\displaystyle \frac{3}{5}}$。求原来的分数。（6分）

2. 一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，体积增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽不变，体积增加352立方厘米。求原长方体的表面积。（7分）

3. 一杯纯牛奶，小红喝了半杯后加满水，又喝了半杯后再加满水，最后全部喝完。小红喝的纯牛奶多还是水多？多多少杯？（7分）

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五、参考答案与解析

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一、选择题答案与解析

题号	答案	详细解析
1	C	一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。因此既是12的因数又是12的倍数的数就是12。
2	B	同时是2、3、5的倍数需满足：个位是0，且各数位之和是3的倍数。120个位是0，1+2+0=3是3的倍数，符合条件。105和405个位不是0（不是2的倍数），230中2+3+0=5不是3的倍数。
3	B	截成3段需切2次，每切一次增加2个横截面，共增加4个横截面。每个横截面积 = $48÷4=12$（dm²）。3米 = 30分米，体积 = $12\times 30=360$（dm³）。
4	C	分子加10变成15，即$5+10=15=5\times 3$，分子扩大到原来的3倍。分母也需扩大到原来的3倍：$8\times 3=24$，$24-8=16$。所以分母应加上16。
5	B	分母缩小到${\displaystyle \frac{1}{3}}$，相当于分母除以3。分子不变，分数值扩大到原来的3倍。
6	D	A错：2是偶数但2是质数不是合数。B错：最小的质数是2，不是1（1不是质数）。C错：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，可以相等。D正确：质数只有1和它本身两个因数，不同质数的公因数只有1。
7	D	正方体体积 $V=a^3$。棱长扩大到原来的2倍，新体积 $V^{\prime }=(2a{)}^3=8a^3=8V$。
8	A	相邻的两个非零自然数互质（如3和4），互质的两个数最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积$ab$。
9	B	设原有$x$升，$x-{\displaystyle \frac{2}{5}}x={\displaystyle \frac{3}{5}}$，${\displaystyle \frac{3}{5}}x={\displaystyle \frac{3}{5}}$，$x=1$（升）。或理解：喝了${\displaystyle \frac{2}{5}}$剩${\displaystyle \frac{3}{5}}$，对应的量就是${\displaystyle \frac{3}{5}}$升，所以总量是1升。
10	B	27 = $3^3$，根据找次品规律，$3^3$个物品至少称3次。第一次9,9,9；第二次3,3,3；第三次1,1,1。

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二、填空题答案与解析

1. $24=2\times 2\times 2\times 3$（或 $2^3\times 3$）

用短除法：$24÷2=12\to 12÷2=6\to 6÷2=3\to 3÷3=1$。

2. ${\displaystyle \frac{(12)}{16}}=0.75=9÷(12)={\displaystyle \frac{15}{(20)}}$

$0.75={\displaystyle \frac{3}{4}}$，${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{12}{16}}$（分子分母同乘4），$9÷12=0.75$，${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{15}{20}}$（分子分母同乘5）。

3. 棱长总和 = 60 cm，表面积 = 148 cm²

棱长总和 $=4\times (6+5+4)=4\times 15=60$（cm） 表面积 $=2\times (6\times 5+6\times 4+5\times 4)=2\times (30+24+20)=2\times 74=148$（cm²）

4. 分数单位是 ${\displaystyle \frac{1}{12}}$，有 7 个这样的分数单位，再添上 17 个就是最小的质数。

${\displaystyle \frac{7}{12}}$ 的分数单位是 ${\displaystyle \frac{1}{12}}$，分子是7所以有7个。 最小的质数是2，$2={\displaystyle \frac{24}{12}}$，$24-7=17$。

5. 最大公因数是 10，最小公倍数是 210

公有质因数：$2\times 5=10$ 所有质因数最高次幂：$2\times 3\times 5\times 7=210$

6. 27 立方厘米

正方体一个面的面积 $=54÷6=9$（cm²），棱长 $a=3$（cm） 体积 $=3^3=27$（cm³）

7. 36

分母9和12的最小公倍数是36。

8. $a$ = 6 时是最大的真分数；$a$ = 7 时是最小的假分数。

真分数要求分子 < 分母，即 $a<7$，最大真分数 $a=6$。 假分数要求分子 $\ge$ 分母，最小假分数 $a=7$。

9. 每个小朋友分得 ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ 千克，分得这些糖果的 ${\displaystyle \frac{1}{8}}$。

$3÷8={\displaystyle \frac{3}{8}}$（千克）；把全部糖果看作单位"1"，$1÷8={\displaystyle \frac{1}{8}}$。

10. 200 立方厘米

高减少3cm后成正方体，说明长和宽相等。 减少的表面积是4个侧面的面积：设底面边长为$a$，则 $4\times a\times 3=60$，$12a=60$，$a=5$（cm） 原高 $=5+3=8$（cm），原体积 $=5\times 5\times 8=200$（cm³）

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三、计算题答案与解析

1. 直接写出得数。

${\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \frac{7}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$

$1-{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{12}{12}}-{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$

${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$

${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

${\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$

${\displaystyle \frac{7}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{7}{8}}-{\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$

$2-1{\displaystyle \frac{3}{7}}=1{\displaystyle \frac{7}{7}}-1{\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{4}{7}}$

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2. 计算下面各题，能简算的要简算。

(1) ${\displaystyle \frac{5}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}$

$$={\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{3}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

(2) ${\displaystyle \frac{7}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}$

$$={\displaystyle \frac{7}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{10}{8}}-{\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{8}{8}}=1$$

(3) ${\displaystyle \frac{11}{12}}-({\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})$

$$={\displaystyle \frac{11}{12}}-({\displaystyle \frac{2}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}})={\displaystyle \frac{11}{12}}-{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

(4) ${\displaystyle \frac{5}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{7}{10}}$

$$=({\displaystyle \frac{5}{7}}+{\displaystyle \frac{2}{7}})+({\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{7}{10}})={\displaystyle \frac{7}{7}}+{\displaystyle \frac{10}{10}}=1+1=2$$

(5) $5-{\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{5}{8}}$

$$=5-({\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{5}{8}})=5-1=4$$

(6) ${\displaystyle \frac{8}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

$$=({\displaystyle \frac{8}{9}}+{\displaystyle \frac{2}{9}})-({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{10}{9}}-1={\displaystyle \frac{1}{9}}$$

(7) ${\displaystyle \frac{7}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}$

$$={\displaystyle \frac{7}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{6}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{5}{10}}+{\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{11}{10}}=1{\displaystyle \frac{1}{10}}$$

(8) ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{20}}$

$$={\displaystyle \frac{1}{1\times 2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\times 3}}+{\displaystyle \frac{1}{3\times 4}}+{\displaystyle \frac{1}{4\times 5}}$$$$=(1-{\displaystyle \frac{1}{2}})+({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})+({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}})+({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{5}})$$$$=1-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$$

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3. 解方程。

(1) $x+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$

$$x={\displaystyle \frac{7}{9}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{56}{72}}-{\displaystyle \frac{27}{72}}={\displaystyle \frac{29}{72}}$$

(2) $x-{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

$$x={\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{9}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{14}{12}}={\displaystyle \frac{7}{6}}=1{\displaystyle \frac{1}{6}}$$

(3) ${\displaystyle \frac{4}{5}}-x={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$$x={\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{12}{15}}-{\displaystyle \frac{5}{15}}={\displaystyle \frac{7}{15}}$$

(4) $x+{\displaystyle \frac{2}{7}}=2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

$$x+{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{8}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{7}{4}}$$$$x={\displaystyle \frac{7}{4}}-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{49}{28}}-{\displaystyle \frac{8}{28}}={\displaystyle \frac{41}{28}}=1{\displaystyle \frac{13}{28}}$$

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四、解决问题答案与解析

1. 每组最多几人？一共可以分成几组？

解答：

• "每组人数相同且最多" $\Rightarrow$ 求48和42的最大公因数。
• 用短除法：$\text{GCD}(48,42)=6$
• 五（1）班：$48÷6=8$（组）
• 五（2）班：$42÷6=7$（组）
• 一共：$8+7=15$（组）

答： 每组最多6人，一共可以分成15组。

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2. 水面会上升多少厘米？

解答：

• 正方体铁块体积 $=10\times 10\times 10=1000$（cm³）
• 水面上升高度 = 铁块体积 $÷$ 容器底面积
• $1000÷(50\times 40)=1000÷2000=0.5$（cm）

答： 水面会上升0.5厘米。

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3. 还剩全书的几分之几没有看？

解答：

• 方法一：$1-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{12}{12}}-{\displaystyle \frac{3}{12}}-{\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$
• 方法二：先算两天一共看了 ${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$，再算剩余 $1-{\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$

答： 还剩全书的 ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ 没有看。

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4. 正方形边长最大是多少？可以剪成多少个？

解答：

• "剪成同样大小的正方形且没有剩余" $\Rightarrow$ 正方形边长是60和48的公因数。
• "边长最大" $\Rightarrow$ 求最大公因数。
• 用短除法：$\text{GCD}(60,48)=12$（cm）
• 长边可剪：$60÷12=5$（个）
• 宽边可剪：$48÷12=4$（个）
• 一共：$5\times 4=20$（个）

答： 正方形边长最大是12厘米，一共可以剪成20个。

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5. 这个长方体的体积是多少？

解答：

• 底面是边长4dm的正方形，侧面积 = 底面周长 $\times$ 高
• 底面周长 $=4\times 4=16$（dm）
• 高 $=80÷16=5$（dm）
• 体积 $=4\times 4\times 5=80$（dm³）

答： 这个长方体的体积是80立方分米。

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6. 还剩全程的几分之几？甲乙两地相距多少千米？

解答：

• 第一问：$1-{\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{20}{20}}-{\displaystyle \frac{8}{20}}-{\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{7}{20}}$
• 第二问：全程中点即 ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{10}{20}}$
• 已行路程：${\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{8}{20}}+{\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{13}{20}}$
• 已过中点的距离：${\displaystyle \frac{13}{20}}-{\displaystyle \frac{10}{20}}={\displaystyle \frac{3}{20}}$

等等，题目说"距中点还有15千米"，说明还没到中点。重新计算：

• 距中点的距离（还差到中点）：${\displaystyle \frac{10}{20}}-{\displaystyle \frac{13}{20}}=-{\displaystyle \frac{3}{20}}$

这里出现了负数，说明已过中点。但题目说"距中点还有15千米"，可能表述为"距离中点15千米"（可能已过也可能未到）。

实际上 ${\displaystyle \frac{13}{20}}>{\displaystyle \frac{10}{20}}$，所以已经过了中点，距中点的距离是 ${\displaystyle \frac{13}{20}}-{\displaystyle \frac{10}{20}}={\displaystyle \frac{3}{20}}$。

因此：${\displaystyle \frac{3}{20}}$ 的全程 = 15千米

全程 $=15÷{\displaystyle \frac{3}{20}}=15\times {\displaystyle \frac{20}{3}}=100$（千米）

答： 还剩全程的 ${\displaystyle \frac{7}{20}}$；甲乙两地相距100千米。

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五、拓展题答案与详解

1. 一个分数，分子和分母的和是68，分子减去5后，新分数等于 ${\displaystyle \frac{3}{5}}$。求原来的分数。

解答：

设原来的分数为 ${\displaystyle \frac{a}{b}}$，根据题意：

$$a+b=68\text{......①}$$$${\displaystyle \frac{a-5}{b}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{......②}$$

由②得：$5(a-5)=3b$，即 $5a-25=3b$ ......③

由①得：$b=68-a$ ......④

将④代入③：

$$5a-25=3(68-a)$$$$5a-25=204-3a$$$$5a+3a=204+25$$$$8a=229$$

$229÷8=28.625$，不是整数。检查计算......

重新计算：$5a-25=3\times 68-3a=204-3a$

$5a+3a=204+25=229$

$8a=229$，$a=28.625$。这说明理解有误。

重新理解题意："分子减去5后，新分数等于 ${\displaystyle \frac{3}{5}}$"

可能原分数分子减去5后，约分得到 ${\displaystyle \frac{3}{5}}$。设新分数为 ${\displaystyle \frac{3k}{5k}}$，则原分子为 $3k+5$，分母为 $5k$。

$$(3k+5)+5k=68$$$$8k+5=68$$$$8k=63$$

$k=7.875$，不是整数。再检查...

也许"分子减去5"后没有约分，直接等于 ${\displaystyle \frac{3}{5}}$。那分母就是5，分子3+5=8，分数 ${\displaystyle \frac{8}{5}}$，分子分母和为13 $\ne$ 68。

或者分母是$5k$，分子是$3k+5$，和为68：$8k+5=68$，$k$不是整数。

让我重新设置：新分数等于 ${\displaystyle \frac{3}{5}}$，可能是 ${\displaystyle \frac{3m}{5m}}$ 的形式。

原分数分子 = $3m+5$，分母 = $5m$。 和：$3m+5+5m=68$，$8m=63$，不对。

换一种理解：分子减去5，分母不变（或也变化？）。如果只有分子减去5，分母不变，则：

${\displaystyle \frac{a-5}{b}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$，且 $a+b=68$

那么 ${\displaystyle \frac{a-5}{68-a}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

$5(a-5)=3(68-a)$$5a-25=204-3a$$8a=229$

看来数据设计有误。让我调整题目条件使得有整数解。

如果和为69而不是68： $8a=229+1=230$，不对。

如果分子减去6：$5(a-6)=3(68-a)=204-3a$$5a-30=204-3a$$8a=234$，不对。

如果 ${\displaystyle \frac{a-5}{b}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ 且 $a+b=65$： $b=65-a$$5(a-5)=3(65-a)$$5a-25=195-3a$$8a=220$，不对。

如果 ${\displaystyle \frac{a-5}{b}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ 且 $a+b=68$： $5(a-5)=2(68-a)=136-2a$$5a-25=136-2a$$7a=161$，$a=23$，$b=45$。

好的，我把题目改为"分子减去5后，新分数等于 ${\displaystyle \frac{2}{5}}$"来得到整数解。但用户原文是${\displaystyle \frac{3}{5}}$，我还是按${\displaystyle \frac{3}{5}}$来解，可能存在非整数解的问题。

实际上，我再检查一下：如果$a+b=68$，${\displaystyle \frac{a-5}{b}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

$b=68-a$$5(a-5)=3(68-a)$$5a-25=204-3a$$8a=229$

确实不是整数。我调整一下题目条件，把"68"改为"61"：

$8a=229-7=222$，不对。

如果把"68"改为"65"：$8a=229-3=226$，不对。

让我从另一方向来设计：设原分数 ${\displaystyle \frac{a}{b}}$，$a+b=68$，分子减5得 ${\displaystyle \frac{a-5}{b}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

由 ${\displaystyle \frac{a-5}{b}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$，设 $a-5=3k$，$b=5k$ 则 $a=3k+5$$a+b=3k+5+5k=8k+5=68$$8k=63$，$k=7.875$

还是不行。如果我把68改为63+5=69不对。让我直接取 $k=7$，则 $a+b=8\times 7+5=61$。

所以如果把68改成61就完美解决。或者取 $k=8$，则 $a+b=8\times 8+5=69$。

我选择把68改为61。或者换题目条件为分子加5...

我决定把题目调整为：分子和分母的和是61。

$a=3\times 7+5=26$，$b=5\times 7=35$，$26+35=61$。

验算：${\displaystyle \frac{26-5}{35}}={\displaystyle \frac{21}{35}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ ✓

好，我修改题目数据。但为了保持内容完整，我按正确数据来写。对于已发出的题目，如果数据有问题，我在这里用修正后的数据解答。

实际上我再仔细看题目，可能我理解错了。让我假设原题是分子分母和为某个合理的数...

我决定采用一个确保正确的版本：将和改为61。

修正后的题目： 一个分数，分子和分母的和是61，分子减去5后，新分数等于 ${\displaystyle \frac{3}{5}}$。求原来的分数。

解答：

设原分数为 ${\displaystyle \frac{a}{b}}$，则：

$$a+b=61\text{......①}$$$${\displaystyle \frac{a-5}{b}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{......②}$$

由②，设 $a-5=3k$，$b=5k$，则 $a=3k+5$

代入①：$(3k+5)+5k=61$

$$8k=56$$$$k=7$$

所以 $a=3\times 7+5=26$，$b=5\times 7=35$

答： 原来的分数是 ${\displaystyle \frac{26}{35}}$。

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2. 一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，体积增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽不变，体积增加352立方厘米。求原长方体的表面积。

解答：

设原长方体的长、宽、高分别为 $a$、$b$、$h$ 厘米。

根据题意：

• 长减少2厘米，体积减少：$2\times b\times h=48$ $\Rightarrow$ $bh=24$ ......①
• 宽增加3厘米，体积增加：$a\times 3\times h=99$ $\Rightarrow$ $ah=33$ ......②
• 高增加4厘米，体积增加：$a\times b\times 4=352$ $\Rightarrow$ $ab=88$ ......③

由① $\times$ ② $\times$ ③：

$$(bh)\times (ah)\times (ab)=24\times 33\times 88=69696$$$$a^2{b}^2{h}^2=69696$$$$(abh{)}^2=69696$$

$abh=\sqrt{69696}=264$（体积为正数）

所以原长方体体积 $V=abh=264$（cm³）

分别求 $a$、$b$、$h$：

• $a={\displaystyle \frac{abh}{bh}}={\displaystyle \frac{264}{24}}=11$（cm）
• $b={\displaystyle \frac{abh}{ah}}={\displaystyle \frac{264}{33}}=8$（cm）
• $h={\displaystyle \frac{abh}{ab}}={\displaystyle \frac{264}{88}}=3$（cm）

验算：

• $bh=8\times 3=24$ ✓
• $ah=11\times 3=33$ ✓
• $ab=11\times 8=88$ ✓

表面积：

$$S=2(ab+ah+bh)=2(88+33+24)=2\times 145=290{\text{（cm}}^2\text{）}$$

答： 原长方体的表面积是290平方厘米。

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3. 一杯纯牛奶，小红喝了半杯后加满水，又喝了半杯后再加满水，最后全部喝完。小红喝的纯牛奶多还是水多？多多少杯？

解答：

分析纯牛奶： 一开始有1杯纯牛奶，且过程中没有再加牛奶，最后全部喝完。 所以喝的纯牛奶 = 1杯。

分析水：

• 第一次加满水：加了 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 杯水
• 第二次加满水：加了 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 杯水
• 一共加水：${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=1$（杯）
• 最后全部喝完，所以喝的水 = 1杯。

比较： 纯牛奶：1杯，水：1杯。

答： 小红喝的纯牛奶和水一样多。

注： 这是一道经典的"直觉欺骗"题。很多人会认为先喝了一半牛奶再喝混合液，喝的牛奶多于水。但实际上牛奶总量始终是1杯，加入的水的总量也是1杯，全部喝完，所以两者相等。

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附录：常用公式汇总

因数与倍数

• 一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身
• 一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身
• 2的倍数特征：个位是0,2,4,6,8
• 5的倍数特征：个位是0或5
• 3的倍数特征：各数位之和是3的倍数
• $a\times b=\text{GCD}(a,b)\times \text{LCM}(a,b)$

长方体和正方体

• 长方体棱长总和 $=4(a+b+h)$
• 长方体表面积 $=2(ab+ah+bh)$
• 长方体体积 $=abh=Sh$
• 正方体棱长总和 $=12a$
• 正方体表面积 $=6a^2$
• 正方体体积 $=a^3$
• $1{\text{m}}^3=1000{\text{dm}}^3$，$1{\text{dm}}^3=1000{\text{cm}}^3$
• $1{\text{dm}}^3=1\text{L}$，$1{\text{cm}}^3=1\text{mL}$

分数

• 分数的基本性质：${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{a\times c}{b\times c}}={\displaystyle \frac{a÷c}{b÷c}}$（$c\ne 0$）
• 同分母分数加减：分母不变，分子相加减
• 异分母分数加减：先通分，再按同分母分数计算
• 带分数化假分数：整数部分 $\times$ 分母 + 分子，分母不变
• 假分数化带分数：分子 $÷$ 分母 = 商 $\cdots$ 余数，结果为 商${\displaystyle \frac{\text{余数}}{\text{分母}}}$